Simetria na Natureza

Uma das primeiras características geométricas com que deparamos quando procuramos detectá-las na Natureza é, porventura, a simetria.
A simetria na Natureza é um fenómeno único e fascinante. Esta ideia surge naturalmente ao espírito humano, remetendo-o para um equilíbrio e proporção, padrão e regularidade, harmonia e beleza, ordem e perfeição. Estes são alguns dos vocábulos que resumem reacções que temos inerentes às simetrias que abundam na Natureza, nas formas vivas e inanimadas.
Podemos encontrar simetrias sob as mais diversas formas e em diferentes locais.
Uma figura geométrica plana diz-se simétrica se for possível dividi-la por uma recta, de forma que as duas partes obtidas se possam sobrepor por dobragem. As rectas que levam a esse tipo de divisão chamam-se eixos de simetria da figura.
Um perfeito exemplo de simetria encontrada na natureza é o caso da borboleta, a qual apresenta um único eixo de simetria.


Todavia existem figuras que podem ter vários eixos de simetria ou nenhum.
A simetria bilateral é imediatamente detectada nesta imagem da cabeça de uma coruja.
No dente-de-leão é facilmente perceptível o arranjo em simetria radial.



Mas a assimetria (ou a não-simetria) é uma característica que também ocorre. Verificam-se mesmo alguns casos invulgares que têm deixado intrigados os observadores, como sucede, por exemplo, com a solha.
Notem-se, no caso do peixe achatado, os dois olhos na mesma face, assim como a boca deformada.

Podemos encontrar outras formas de assimetria, mas igualmente relacionadas com a matemática. Um das das mais frequentes, sobretudo entre as plantas, mas também presente no reino animal é a espiral, reconhecível no desenho das conchas de caracóis, búzios e afins.
É facilmente identificada, no caracol, a forma espiralada exibida pela casca.

Sem medo dos números

Especialistas ensinam algumas atitudes simples que ajudam as crianças a gostar de matemática
por Beatriz Vichessi


Como ajudar crianças a aprender, com prazer e curiosidade, a arte de usar os números? Quando começar? Priscila Monteiro, coordenadora de Matemática do Projeto Dica, de São Caetano do Sul (SP), e formadora do programa Matemática É D+, da Fundação Victor Civita, sugere brincadeiras para despertar o interesse de seus filhos. Afinal, não há por que temer essa disciplina na escola.

Segundo Priscila, o conhecimento matemático é uma ferramenta que ajuda a desenvolver a autonomia intelectual e a capacidade crítica do ser humano. Um dos benefícios práticos de aprender a disciplina é poder aplicá-la no cotidiano ? e não só para fazer contas, como a maioria pensa. ?A utilização de conceitos matemáticos permite, por exemplo, antecipar o resultado de certas ações sem a necessidade de realizá-las efetivamente?, explica a professora.


Aos 2 anos
Quando perguntarem a idade do seu filho, resista à tentação de falar por ele. Em vez disso, estimule-o a responder usando os dedos. Essa é uma ótima oportunidade para ele começar a perceber a importância dos números.


A partir dos 4 anos
Alguns jogos, como boliche - que pode ser improvisado com garrafas plásticas cheias de areia, aproximam as crianças dos números e de conceitos de geometria. Para descobrir quem venceu, é preciso contar as garrafas derrubadas. Incentive a criança a brincar com esses jogos.


Depois dos 10 anos
Para crianças maiores, situações práticas são mais eficientes. Afinal, elas já lidam com exercícios complexos na sala de aula. Assim, é válido propor que calculem o preço final da lista de compras do supermercado, o preço total de um produto anunciado em prestações e a quantidade de carne e de refrigerante para um churrasco, por exemplo.

A matemática e o cotidiano

Adoro números!
A matemática está mais perto do cotidiano e já não é a eterna vilã do mundo estudantil

Espécie de bicho-papão da vida escolar, a matemática sempre foi uma disciplina temida, que reprovava muito e tinha poucos fãs. Mas as novas formas de ensino, que usam jogos e brincadeiras, trouxeram a matéria mais para perto do mundo real e vêm atraindo as crianças, para surpresa de muitos pais, que nunca gostaram dela. A psicóloga Sandra Magina, doutora em educação matemática e professora da PUC de São Paulo, diz que as mudanças no ensino da disciplina começaram nos anos 80. "Foi quando a matemática passou a ser discutida no cotidiano", afirma Sandra, deixando para trás heranças do ensino tradicional, como a tabuada e a também chamada matemática moderna, que lidava de forma abstrata com conceitos complexos como a teoria dos conjuntos. Vinte anos mais tarde, o ensino da matéria tem hoje quatro características principais. "A primeira é a relação da matemática com situações concretas do mundo real. Outra é a introdução de brincadeiras para facilitar o processo, além de jogos que podem ser manipulados pelos alunos. E ainda o uso do computador, com programas auxiliares cada vez melhores", diz a professora. Tudo com o objetivo de fazer a criança compreender os problemas e selecionar a melhor forma de solucioná-los, sem decorebas.


Sem cobranças

A melhor maneira de os pais ajudarem o filho a se dar bem com a matemática é apontando a presença dela no dia-a-dia. Os números, as figuras geométricas, as relações entre as quantidades estão em toda parte: nas compras do supermercado, nos móveis da casa, nas receitas culinárias. "Atualmente, a matemática que se aprende até a oitava série é muito aplicável ao cotidiano", assegura a professora Sandra Magina. Mas não se deve enfatizar a realização de operações, treinando a criança só para fazer contas. "O importante é entender o conceito, o raciocínio por trás de cada situação", diz Sandra. A professora Elza Akama concorda: "Não se deve cobrar contas das crianças. Para substituir a tabuada, já existem calculadoras. E não queremos ninguém competindo com calculadoras, mas construindo-as."

Pi está em todos os lugares!

...O rolar das ondas numa praia, o trajeto aparente diário das estrelas no céu terrestre, o espalhamento de uma colônia de cogumelos, o movimento das engrenagens e rolamentos, a propagação dos campos eletromagnéticos e um sem número de fenômenos e objetos, do mundo natural e da Matemática, estão associados às idéias de simetria circular e esférica. Ora, o estudo e uso de círculos e esferas, de um modo quase que inexorável, acaba produzindo o PI. Daí a ubiquidade desse número. Ele é uma das constantes universais da Matemática.



...É importante chamarmos a atenção para o fato que também são frequentes as ocorrências do PI em estudos onde aparentemente, principalmente para uma pessoa de pouca formação matemática, não estariam envolvidas simetrias circulares: na normalização da distribuição normal de probabilidades, na distribuição assintótica dos números primos, na construção de números primos próximos a inteiros dados ( na chamada constante de Ramanujan ), e mil e uma outras situações.

...A descoberta do PI

Muitas pessoas acham que precisamos ter o valor do PI para calcular circunferência de círculos. Um exemplo clássico mostrando que isso NAO e' verdade e' o cálculo da circunferência da Terra por Erathostenes c. 250 AC.



...Ele mediu um arco de meridiano terrestre de 5000 estádios e, usando um instrumento de forma semi-esférica ( chamado skaphe ), verificou que esse arco de meridiano era proporcional a um arco de meridiano da skaphe, o qual media 1/50 do meridiano da esfera desse instrumento. Consequentemente, concluiu que o meridiano terrestre e' 50*5000 = 250000 estádios. Ou seja, em lugar nenhum precisou saber o valor do PI!

...Esse exemplo, e outros que poderiamos mencionar, mostram que é bastante surpreendente que a quase totalidade das pessoas ache que PI foi descoberto ao se relacionar circunferências com diâmetros dos respectivos círculos. Embora a definição usual do PI baseie-se na constância da razão circunferência : diâmetro, muito provavelmente não foi essa a origem do PI.

...Com efeito, é difícil imaginarmos situações práticas reais onde, numa civilização incipiente, alguém tenha precisado calcular a circunferência de um círculo de diâmetro conhecido, ou vice-versa. Muito mais naturais sao problemas requerendo achar a área de um campo circular em termos do diâmetro ou mesmo em termos da circunferência. Em verdade, devia-se até questionar se a descoberta do PI realmente ocorreu no contexto de círculos, e não no de esferas.

...Essa inquietação nao é só nossa. O famoso historiador matemático Abraham Seidenberg gastou muitos anos de sua vida vasculhando museus e lendo trabalhos de antropologia, em busca dos mais antigos indícios de envolvimento humano com círculos, esferas e o PI. O resultado desses estudos foi resumido nos seus artigos The ritual origin of the circle and square, Archiv. Hist. Exact Sc. 25, (1981), e principalmente em On the volume of a sphere, Archiv. Hist. Exact Sc. 39, (1988).

...Sua conclusão foi que o cálculo do volume da esfera em termos de seu diâmetro remontaria a antes de 2 000AC, sendo anterior a matemática das grandes antigas civilizações mesopotâmica, indiana, chinesa e egípcia.

...O historiador matemático B. van der Waerden identifica essa origem com o que chamo de Tradição Origem da Matemática e a localiza no Vale do Danúbio c. 4 000 AC. Segundo Seidenberg, nessa tradição também se teria reconhecido a igualdade da constante de proporcionalidade relacionando circunferência com diâmetro e área de círculo com quadrado do raio; ou seja, já nessa tradição, possivelmente lá por 3000 a 4000AC, se teria reconhecido que o "PI da circunferência" é igual ao "PI da área do círculo". Também é interessante observar que Seidenberg concluiu que a descoberta dessa igualdade usou métodos infinitesimais, ao estilo de Cavalieri.

...É preciso que fique bem claro que o que o trabalho de Seidenberg achou na noite dos tempos, em bem remota antiguidade, foram apenas indícios indiretos de envolvimento com PI. Os mais antigos documentos concretos que temos e que tratam explícitamente de PI são tabletas mesopotâmicas de c. 2 000 AC, como a mostrada ao lado. Examinando a figura desenhada, fica fácil ver que a mesma corresponde a adotar a aproximação grosseira PI = 3, que é a mais comum das aproximações para PI que encontramos nos documentos mesopotâmicos.

O número Pi

...Na matemática, π é o número que representa a quociente entre o perímetro de uma circunferência e o seu diâmetro; por outras palavras, se uma circunferência tem perímetro p e diâmetro d, então aquele número é igual a p / d.

...É representado pela letra grega π. A letra grega π (lê-se: pi), foi adotada para o número a partir da palavra grega para perímetro, "περίμετρος", provavelmente por William Jones em 1706, e popularizada por Leonhard Euler alguns anos mais tarde. Outros nomes para esta constante são constante circular, constante de Arquimedes ou número de Ludolph.

...O valor de π
...pertence aos números irracionais. Para a maioria dos cálculos simples é comum aproximar π por 3,1, 3,14 e 3,1416.

...Uma boa parte das calculadoras científicas de 8 dígitos aproxima π por 3,1415927. Para cálculos mais precisos pode-se utilizar com 25 casas decimais.
...Para cálculos ainda mais precisos pode-se obter aproximações de π através de algoritmos computacionais.

Pipas & Matemática

...A história das pipas possui mistérios, lendas, símbolos e mitos. Ela também encanta pela magia e beleza. Tudo deve ter começado quando o homem primitivo se deu conta de sua limitação diante da capacidade de voar dos pássaros. Essa frustração foi o mote para que ele desse asas a sua imaginação.

...Pipa, papagaio ou pandorga, entre outras denominações, pode ser definido como um brinquedo que voa preso a extremidade de uma linha ou barbante. Em geral, tem uma armação leve de bambu ou madeira, sobre a qual se estica uma folha de papel ou plástico.


... A Pipa também ajuda na construção dos conceitos matemáticos. Com ela podemos ensinar a geometria de forma lúdica, desenvolvendo o raciocínio lógico sempre promovendo, nesta construção, a formação do indivíduo com um trabalho cooperativo onde há respeito pelo ambiente em que se vive. Durante a construção, a Pipa, é caracterizada por alguns entes geométricos como: linhas concorrentes, paralelas, triângulos, retângulos, triângulos retângulo, losangos, ângulos etc.

...Quem achar, contudo que as pipas não têm outra utilidade, a não ser diversão, engana-se. O milenar brinquedo auxiliou na criação do pára-raios, esteve presente na primeira transmissão radiofônica e ainda auxiliou Santos Dumont em suas primeiras experiências, entre outros atributos.



...Os historiadores acreditam que tenha sido inventada entre 400 e 300 (A.C.) por Arquitas, um grego da cidade de Tarena. Os chineses afirmam, contudo, que o general Han Sin a inventou em 206 (AC), para uso dos militares.
...Em 1749 o escocês Alexander Wilson usou vários termômetros presos as pipas para medir a temperatura nas alturas. Já Benjamim Franklin, em 1752, utilizando uma pipa forrada de pano, demonstrou em um dia de chuva, que nas nuvens existe eletricidade estática, criando assim o pára-raios.

...O inglês Douglas Archibasld, em 1883, prendeu um anemômetro (medidor de vento) à linha de uma pipa e mediu a velocidade do vento a 360m de altura. A aerofotografia com o auxílio de pipas também é muito praticada desde o fim do século XIX. Guglielmo Marconi em 1901 usou uma pipa para erguer uma antena e fez a primeira transmissão de rádio.
...No fim do século XIX e inicio do século XX, o homem estava decidido a construir uma máquina que lhe permitisse voar, nessa época ele só tinha duas referências de vôo, que eram as aves e a pipa. Muitos tentaram imitar os pássaros com suas máquinas sem sucesso, outros tentavam usando pipas.
...Em 1906, depois de vários testes, o brasileiro Alberto Santos Dumont fez o primeiro vôo, usando um conjunto de pipas-caixas, acionadas por suas próprias forças. Este avião recebeu o nome de “14 BIS”. Fonte: www.pipas.art.br

...Nós brasileiros conhecemos as pipas através dos colonizadores portugueses por volta de 1596 que, por sua vez, as conheceram através de suas viagens ao Oriente. Um fato pouco conhecido de nossa História deu-se no Quilombo dos Palmares, quando sentinelas avançadas anunciavam por meio de pipas quando algum perigo se aproximava mais uma prova de que a pipa era conhecida na África há muito mais tempo, pois os negros já cultuavam-na como oferenda aos deuses. http://www.pipas.com.br

Malba Tahan

0 GENIAL ATOR DA SALA DE AULA ...

Júlio César de Melo e Sousa (Rio de Janeiro, 6 de maio de 1895 — Recife, 18 de junho de 1974), mais conhecido pelo heterônimo de Malba Tahan foi um escritor e matemático brasileiro. Através de seus romances foi um dos maiores divulgadores da matemática no Brasil. Ele é famoso no Brasil e no exterior por seus livros de recreação matemática e fábulas e lendas passadas no Oriente, muitas delas publicadas sob o heterônimo/pseudônimo de Malba Tahan.


...Seu livro mais conhecido, O Homem que Calculava, é uma coleção de problemas e curiosidades matemáticas apresentada sob a forma de narrativa das aventuras de um calculista persa à maneira dos contos de Mil e Uma Noites. Monteiro Lobato classificou-a como: “... obra que ficará a salvo das vassouradas do Tempo como a melhor expressão do binômio ‘ciência-imaginação.’”



...Júlio César, como professor de matemática, destacou-se por ser um acerbo crítico das estruturas ultrapassadas de ensino. “O professor de Matemática em geral é um sádico. — Denunciava ele. — Ele sente prazer em complicar tudo.” Com concepções muito a frente de seu tempo, somente nos dias de hoje Júlio César começa a ter o reconhecimento de sua importância como educador. Em 2004 foi fundado em Queluz -- terra onde o escritor passou sua infância -- o Instituto Malba Tahan, com o objetivo de fomentar, resgatar e preservar a memória e o legado de Júlio César. ...Em homenagem a Malba Tahan, o dia de seu nascimento – 6 de maio – foi decretado Dia da Matemática pela Assembléia Legislativa do Rio de Janeiro.

O volume de uma pizza...

Não poderia deixar de dividir com vocês o que vi hj:

O volume de uma pizza de raio z e altura a seria

pi·z·z·a(…)

ou, para quem prefere uma linguagem universal…

Jogo "Confusebox"

Eu adoro jogos de raciocínio lógico, mas confesso que vencer o “Confusebox” não é nada fácil. O legal é que cada vez que se entra nesse jogo, é preciso estudar novas estratégias para vencê-lo.

O objetivo do jogo é conectar todo o circuito para que todas as luzes se acendam.


Para jogar, clique aqui.



Boa sorte!

Jogo "Resta um"

O “Resta Um” é um quebra-cabeça bastante antigo, mas ainda é muito utilizado quando se quer testar o raciocínio lógico.
O objetivo deste jogo é, através de movimentos válidos, deixar apenas uma peça no tabuleiro, de preferência, no centro do mesmo.
No início do jogo, há 32 peças no tabuleiro, deixando vazia a posição central.
Um movimento consiste em pegar uma peça e fazê-la “saltar” sobre outra peça, sempre na horizontal ou na vertical, terminando em um espaço vazio.
A peça que foi “saltada” é retirada do tabuleiro.
O jogo termina quando não é possível fazer nenhum movimento. Nesta ocasião, o jogador ganha se restar apenas uma peça no tabuleiro.
Para jogar esse quebra-cabeça, clique no link: Jogando o “resta um”

O que são fractais?

Imagine que estejamos interessados em medir o comprimento do quarteirão da nossa rua utilizando uma régua de um metro. Suponha agora uma nova aferição feita com uma régua de 20 cm. Você acha que os dois resultados obtidos seriam iguais ou não?

Os resultados não seriam iguais porque uma pequena irregularidade no quarteirão (uma pedra, um buraco ou a raiz de uma árvore), que talvez fosse desconsiderada pela régua maior, provavelmente seria levada em consideração na aferição feita com a menor. Quanto menor a régua utilizada, maior será o comprimento encontrado.

Imagine agora a variedade de resultados que poderíamos obter ao medir o litoral brasileiro, que é muito mais irregular do que o quarteirão da nossa casa, dependendo do grau de detalhamento que desejamos.

Objetos geométricos que possuem uma estrutura detalhada em muitas escalas de ampliação são chamados de fractais, nome derivado da palavra latina fractus, que significa irregular.

O estudo dos fractais tem-se revelado recentemente de grande importância em vários campos das ciências, tais como biologia, meteorologia e economia. Vejamos como a matemática escolar pode nos ajudar a compreender um determinado objeto fractal.

A curva de Koch, também conhecida como floco de neve, é um objeto fractal que pode ser obtido a partir de várias interações sobre um triângulo equilátero de lado igual a 1 .

Dividimos cada um dos lados desse triângulo em três partes iguais, retiramos a parte central e, a partir dos "buracos" que fizemos, construímos três novos triângulos equiláteros .

O perímetro da figura 1, que era igual a 3, passará para 4 na figura 2 (12 lados medindo 1/3 cada um). Da figura 2 para a 3, o perímetro passará de 4 para 16/3 porque o comprimento de cada lado passará de 1/3 para 1/9.

A sequência numérica (3, 4, 16/3, ...) dos perímetros da curva de Koch após sucessivas interações é uma progressão geométrica de razão igual a 4/3 e a1 = 3. Para calcular o perímetro após n interações, basta aplicar a fórmula an = a1qn-1 do termo geral de uma P.G. .

Pelo fato de a P.G. em questão ter a1 0 e q 1, sabemos que o valor do perímetro estará sempre crescendo, o que confere à curva de Koch a estranha propriedade de possuir um perímetro que tende ao infinito quando aumentamos o número de interações.

Fica para o leitor o exercício de descobrir o que acontecerá com a área da curva de Koch após infinitas interações.

Material Dourado

O USO DO MATERIAL DOURADO NAS SÉRIES INICIAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL

O uso do material dourado em sala de aula


Introdução:

O “Material Dourado” foi criado por Maria Montessori (1870-1952), primeira mulher na Itália a formar-se em medicina. Quando encarregada da educação de crianças com deficiências, verificou que elas aprendiam mais pela ação do que pelo pensamento, desenvolveu então um método e material apropriado de ensino. Sua experiência foi muito bem-sucedida e Montessori concluiu que método semelhante poderia ter êxito com crianças normais.
O Material Dourado Montessori destina-se a atividades que auxiliam o ensino e a aprendizagem do sistema de numeração decimal-posicional e dos métodos para efetuar as operações fundamentais (ou seja, os algoritmos).
No ensino tradicional, as crianças acabam "dominando" os algoritmos a partir de treinos cansativos, mas sem conseguirem compreender o que fazem. Com o Material Dourado a situação é outra: as relações numéricas abstratas passam a ter uma imagem concreta, facilitando a compreensão. Obtém-se, então, além da compreensão dos algoritmos, um notável desenvolvimento do raciocínio e um aprendizado bem mais agradável.
O Material Dourado faz parte de um conjunto de materiais idealizados pela médica e educadora italiana Maria Montessori.
O nome ”Material Dourado” era conhecido como “Material das Contas Douradas” pois inicialmente a sua forma eram contas douradas e que hoje temos como no desenho abaixo:




O material multibase, também conhecido como material dourado, pode ser usado para explorar a estrutura do sistema de numeração; os algoritmos associados às quatro operações básicas (adição, multiplicação, subtração e divisão) com ênfase no procedimento de agrupamento; conceitos geométricos (perímetro, área, volume, etc.); e vários princípios algébricos fundamentais.

Jogo - Ganhando um bloco

Para este jogo são necessários: material multibase (qualquer base) que constituirá o banco e um dado. Podem participar do jogo dois ou mais alunos.

Procedimento:

Em cada rodada os alunos lançam o dado e pegam do banco tantas unidades quanto indica o número na face superior do dado. Os jogadores fazem a troca: unidades por barras, barras por placas e placas por cubo.

Vence o primeiro que tenha conseguido um cubo.

Responda:

– Qual é o menor número de lances necessários para ganhar uma barra? E uma placa? E um cubo?

– Qual é o maior número de lances necessários para ganhar uma barra? E uma placa? E um cubo?

– É possível obter uma barra no primeiro lance do dado?

– Qual é a chance de obter pelo menos uma barra no primeiro lance do dado?

– É possível obter duas barras no primeiro lance do dado?

Alterações no jogo

1. Usando dois dados. Os alunos pegam do banco as unidades resultante da soma dos números que aparecem na face superior dos dados.

2. Usando três dados sendo dois de cores diferentes. Os dois dados de mesma cor indicam o número de unidades que serão retiradas do banco e o outro dado indica o número de unidades que serão devolvidas ao banco. Com esta modificação na regra, o aluno poderá desfazer as trocas de placas por barras e de barras por cubos.

Geometria com canudos

A geometria é, freqüentemente, ensinada no quadro negro ou através de Icosaedro montado com canudoslivros didáticos. Quando se trata de figuras planas esse método não representa grande dificuldade para o aprendizado da criança. Mas o mesmo não se pode dizer quando se deseja ensinar os elementos da geometria espacial. Portanto, neste material, sugiro a utilização de canudos de refrigerante na montagem de estruturas geométricas, como a mastrada na figura ao lado.

Pode-se ensinar geometria espacial por intermédio da montagem de sólidos, em que a criança recorta um desenho numa folha de cartolina e, através de dobraduras e colagem, monta um sólido geométrico. Porém, a atividade que é proposta aqui, além de possibilitar que a criança construa estruturas e "brinque" com a geometria espacial, torna possível a visualização de alguns elementos que na atividade com cartolina são menos notados. Estes elementos são as arestas e os vértices dos sólidos.



A estrutura mais simples para se montar é a do tetraedro (poliedro de quatro faces) que possui 6 arestas e 4 vértices. Na figura ao lado nota-se que cada aresta do tetraedro corresponde a um canudo. Portanto, para montá-lo será necessário dispor de 6 canudos de refrigerante.

Ligar um canudo ao outro pode parecer algo complicado a princípio, mas essa tarefa ficará mais fácil depois de algumas tentativas.


Para começar a construção da estrutura deve-se iniciar pela base (alicerce), que é um triângulo. Se o tetraedro é regular então o triângulo deverá ser equilátero. A construção da base começa passando-se o barbante por três canudos.





Depois de passar o barbante pelos canudos passa-se novamente pelo primeiro canudo da fileira. Desse jeito não será preciso dar um nó, ainda.


Concluída esta etapa temos a estrutura como mostrada na figura ao lado. Assim já podemos levantar o tetraedro, que também é uma pirâmide de base triangular.




Pegamos a ponta do barbante que acabamos de passar pelo canudo da base e passamos por dois outros canudos.





Em seguida passamos o barbante por mais um canudo da base. A ponta sairá na outra extremidade e poderemos passá-la pelo último canudo.


Assim como fizemos para fechar o triângulo da base, faremos para fechar o tetraedro. Ou seja, passaremos mais uma vez o barbante por dentro do canudo mostrado na figura ao lado. Para que a estrutura fique bem firme é interessante passar o barbante duas vezes pelo mesmo canudo.






Com isso as extremidades adjacentes dos canudos ficarão conectadas.Em vez de usar barbante para unir os canudos pode-se usar bolinhas de isopor ou massa de modelar.




Outro poliedro que pode ser montado é o cubo (hexaedro). Ele tem 6 faces e 12 arestas, necessitando, assim, de 12 canudos. Porém a estrutura não ficará estável, ou seja, ela não fica de pé facilmente. Sendo preciso fazer várias conexões entre os vértices opostos.

Já a pirâmide de base quadrada fica de pé, mas se manuseada ela pode deformar-se. Para construí-la serão necessários 8 canudos.

A Matemática do pega-varetas

Um jogo simples e divertido para ensinar o conceito de divisibilidade






Se algum pai desavisado entrasse de surpresa em uma aula de Matemática da 5a série, levaria um susto ao ver a turma brincando de pega-varetas. Na aula é usado o conceito de divisibilidade -- noção segundo a qual um número natural pode ser dividido por outro número natural não nulo, sendo a divisão do primeiro pelo segundo exata, isto é, com resto igual a zero. Para fazer os alunos descobrirem isso na prática, é dada uma pontuação às varetas. Ao final das jogadas os pontos de cada vareta eram multiplicados uns pelos outros. O resultado era decomposto pela divisão sucessiva por 2, por 3 e assim por diante, até alcançar números primos, que são aqueles divisíveis apenas por 1 e por eles mesmos.

Exemplos colhidos na sala de aula

- Você tirou três varetas azuis. Que outras poderiam substituí-las, de modo que o total de pontos continuasse o mesmo? E quais alterariam o resultado final?

Resposta: as três azuis somam 216 pontos (6 x 6 x 6 = 216). Para descobrir outras combinações que resultariam nesse número, é preciso fatorar (decompor) 216 em números primos. Você vai encontrar 23 x 33. Isso mostra que as varetas azuis poderiam ser trocadas por três amarelas e três vermelhas (2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 216). As verdes e as pretas não teriam utilidade pois não há nenhum número que, multiplicado por 5 ou 30, resulte em 216.

É possível fazer 80 pontos numa jogada sem tirar nenhuma vareta verde?

Resposta: fatorando o número 80, conseguimos 24 x 5. Como a verde vale 5 e o número só é formado pelos números primos 2 e 5, seria impossível fazer 80 pontos sem tirá-la.

Em determinada jogada, você alcança 72 pontos tirando três varetas de cores diferentes. Que cores foram essas? Há possibilidade de haver mais de uma vareta com a mesma cor?

Resposta: o número 72 é formado pelos fatores 23 x 32. Portanto, por três varetas amarelas e duas vermelhas. Mas como você tirou três cores diferentes, vai ter de trocar varetas para conseguir a terceira cor. A solução é tirar uma amarela e uma vermelha e substituí-las por uma azul. No final, ficam duas amarelas, uma vermelha e uma azul (2 x 2 x 6 x 3 = 72).

O produto vale 180 pontos. Encontre pelo menos duas combinações possíveis que correspondam a esse mesmo número de pontos.

Resposta: várias possibilidades foram encontradas pelos alunos, sempre calcadas nos divisores de 180: uma preta e uma azul; duas amarelas, duas vermelhas e uma verde; ou, ainda, uma amarela, uma vermelha, uma azul e uma verde.

Regras do trabalho:

1. A pontuação das varetas é escolhida como quiser.

2. A classe é dividida em grupos de três ou quatro. Todas as equipes recebem um pega-varetas. Alunos e professor combinam quantas rodadas terão as partidas. Tirando no par ou ímpar, cada grupo escolhe quem vai começar.

3. O vencedor lança as varetas sobre uma mesa ou outra superfície plana. Depois, tenta pegá-las uma a uma do monte, sem fazer as outras se mexerem. Enquanto conseguir isso, continua a jogar. Se não, a partida é interrompida e os valores de cada vareta retirada são multiplicados uns pelos outros, obtendo-se o número de pontos daquela jogada.
A partir daí, o professor estimula o grupo a sugerir outras combinações que levariam ao mesmo produto.
O número de sugestões oferecidas pela equipe é anotado num papel. A partida recomeça com a criança da vez.

4. Vence o grupo que conseguir propor mais opções.