Imagine que estejamos interessados em medir o comprimento do quarteirão da nossa rua utilizando uma régua de um metro. Suponha agora uma nova aferição feita com uma régua de 20 cm. Você acha que os dois resultados obtidos seriam iguais ou não?
Os resultados não seriam iguais porque uma pequena irregularidade no quarteirão (uma pedra, um buraco ou a raiz de uma árvore), que talvez fosse desconsiderada pela régua maior, provavelmente seria levada em consideração na aferição feita com a menor. Quanto menor a régua utilizada, maior será o comprimento encontrado.
Imagine agora a variedade de resultados que poderíamos obter ao medir o litoral brasileiro, que é muito mais irregular do que o quarteirão da nossa casa, dependendo do grau de detalhamento que desejamos.
Objetos geométricos que possuem uma estrutura detalhada em muitas escalas de ampliação são chamados de fractais, nome derivado da palavra latina fractus, que significa irregular.
O estudo dos fractais tem-se revelado recentemente de grande importância em vários campos das ciências, tais como biologia, meteorologia e economia. Vejamos como a matemática escolar pode nos ajudar a compreender um determinado objeto fractal.
A curva de Koch, também conhecida como floco de neve, é um objeto fractal que pode ser obtido a partir de várias interações sobre um triângulo equilátero de lado igual a 1 .
Dividimos cada um dos lados desse triângulo em três partes iguais, retiramos a parte central e, a partir dos "buracos" que fizemos, construímos três novos triângulos equiláteros .
O perímetro da figura 1, que era igual a 3, passará para 4 na figura 2 (12 lados medindo 1/3 cada um). Da figura 2 para a 3, o perímetro passará de 4 para 16/3 porque o comprimento de cada lado passará de 1/3 para 1/9.
A sequência numérica (3, 4, 16/3, ...) dos perímetros da curva de Koch após sucessivas interações é uma progressão geométrica de razão igual a 4/3 e a1 = 3. Para calcular o perímetro após n interações, basta aplicar a fórmula an = a1qn-1 do termo geral de uma P.G. .
Pelo fato de a P.G. em questão ter a1 0 e q 1, sabemos que o valor do perímetro estará sempre crescendo, o que confere à curva de Koch a estranha propriedade de possuir um perímetro que tende ao infinito quando aumentamos o número de interações.
Fica para o leitor o exercício de descobrir o que acontecerá com a área da curva de Koch após infinitas interações.
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